Question

从1到2006的所有自然数中,有多少个数乘以72后是完全平方数?

我知道答案是31,但不知道结果是怎么得来的.还望大家帮忙!

Answer 1

72=（2*2）*（3*3）*2
因此
完全平方数（设为N*N）*2*72===（2*2）*（3*3）*（2*2）*(N*N)

就还是完全平方数
所以
N*N*2 应该小于2006

也就是说，小于1003的完全平方数符合这个要求，一共是31个（32*32=1024就超出了）

Answer 2

首先，72＝2×36，而36本身已经式完全平方数，所以，相当于求有多少个数乘以2之后是完全平方数。理解这点之后再继续看：
所以从1～2006的数乘以2之后的范围为2～4012，在这范围内的完全平方数中最小的是4＝2^2,最大的是3969＝63^2,因为64^2已经是4096了。
所以在2～4012间的完全平方数有63－2＋1＝62个。这62个中只有偶数才符合条件，因为所求的数必须是某个1～1006间的数乘以2得到的。而偶数的平方还是偶数，奇数的平方还是奇数。所以，这62个中只有2^2,4^2,6^2……62^2是所求，所以有31个。