Question

线性代数 二次型化为标准型的问题

图中黑线上方是题目，黑线下方是解答过程的最后两步，请问划红线的部分是怎么得出的、具体过程是啥？
谢谢
得出画红线部分具体步骤是啥？请详细讲解

Answer 1

画红线上面的那个矩阵就是X=PY矩阵形式，最后得出的二次型，y前面的系数其实是前面二次型矩阵所对应的四个特征值-1，1，1，1.
这种题一般都会要求你既写出最后化成的标准型，也要写出那个变换。红线上面的X=PY就是那个变换，其中P是正交矩阵，P的由来就是通过求出二次型矩阵的特征值和特征向量，再把特征向量正交化后得出的正交矩阵。最后的结果y前面的系数是之前求的特征值。
最后这两步都要写上而已。X=PY并不是直接推导出了最后的红线结果，红线上的结果在求特征值的那一步就确定了，只是得写出那个变换。

Answer 2

红线部分的结论只是直接按照上面的变换把x全用y代掉而已。
至于为什么用上面的这个变换，那要用合同变换算一下，答案里面没给具体过程。