Question

2道数学题！

1若点P(x,y)在园x^2+y^+4x+3=0 求y/x最大值
2过已知点（3，0）的直线L与圆x^2+y^2+x-6y+3=0,相交于PQ两点，且0p⊥oQ（O为原点），求直线方程

详细过程 本人很笨

Answer 1

1.
圆的方程可化为：(x + 2)^2 + y^2 = 1 ，它可以化为三角形式：x = cosα - 2 ，y = sinα ，∴y/x = sinα/(cosα - 2) ，令k = y/x ，则sinα = k(cosα - 2) ，代入(sinα)^2 + (cosα)^2 = 1 得：(1 + k^2)(cosα)^2 - 4k^2·cosα + (4k^2 - 1) = 0 ，∵cosα是实数 ，即方程有实数根 ，∴△ > 0 ，∴得到：16k^4 》(4k^2 - 1)(1 + k^2)，∴3k^2 - 1 《 0 ，解得：-√3/3 《 k 《 √3/3 ，即 y/x 最大值是 √3/3 。
2.
圆的方程可化为：(x + 1/2)^2 + (y - 3)^2 = 25/4 ，试算可知 ，点(3 ，0)在圆外 ，∴直线的斜率k是存在的 ，直线可以表示为：y = k(x - 3) ，分别与圆的方程联立得到关于x和y的方程 ：
x^2 + x + [k(x - 3) - 3]^2 = 6
y^2 - 6y + 3 + [(y/k) + 3]^2 + [(y/k) + 3] = 0
整理并根据韦达定理可得：x1·x2 = [9(k+1)^2 - 6]/(1 + k^2) ；
y1·y2 = 15k^2/(1 + k^2)
其中 ，(x1 ，y1)、(x2 ，y2)分别是P、Q两点的坐标 ，∵OP⊥OQ ，∴直线OP与直线OQ的斜率乘积 = -1 ，即：(y1/x1)·(y2/x2) = -1 ，即：(y1y2)/(x1x2) = -1 ，代入可得：15k^2/[9(k+1)^2 - 6] = -1 ，化简可得：8k^2 + 6k + 1 = 0 ，解得：k = -1/2 或 -1/4 ，代入y = k(x - 3)得到所求直线的方程为：x + 2y - 3 = 0 或者 x + 4y - 3 = 0 。

Answer 2

1）
设：t=y/x,则：y=tx
x^2+t^2x^2+4x+3=0
判别式△=16-4*3*(1+t^2)=4-12t^2≥0
t^2≤1/3
-√3/3≤t≤√3/3
所以，y/x最大值=√3/3

2)
设直线方程为：y=k(x-3)
则：(1+k^2)x^2+(1-6k^2-6k)+(9k^2+18k+3)=0
x1x2=(9k^2+18k+3)/(1+k^2)
y1y2=k^2(x1x2-3(x1+x2)+9)=15k^2/(1+k^2)
0p⊥oQ
x1x2+y1y2=0
(24k^2+18k+3)/(1+k^2)=0
3(8k^2+6k+1)=0
3(4k+1)(2k+1)=0
k1=-1/4,k2=-1/2
直线方程为：
y=-1/4*(x-3),即：x+4y-3=0
或：y=-1/2*(x-3),即：x+2y-3=0

Answer 3

1,圆方程化为(x+2)^2+y^2=1
设x=sina-2,y=cosa可求
另一种方法较简单,题意可理解为求过原点与圆上一点的直线中斜率最大为多少.
易得相切时最大,y/x<=√3/3
2,设直线方程为y=kx-3k,直线与圆的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)
将直线方程代入圆方程得到x的方程,由此二次方程可知x1x2与x1+x2的值
y1y2=(kx1-3k)(kx1-3k)也可求得
0p⊥oQ得x1x2+y1y2=0
从而求得k
告诉你方法,自己算算看