Question

已知函数f(x)=x+1/x,试判断f(x)在区间(0，1]上的单调性，并利用定义证明你的判断，

Answer 1

令0<x1<x2<=1
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1²x2-x1x2²+x2-x1)/x1x2
分母显然大于0

分子=x1²x2-x1x2²+x2-x1
=x1x2(x1-x2)-(x1-x2)
=(x1x2-1)(x1-x2)
0<x1<1,0<x2<=1
所以0<x1x2<1,x1x2-1<0
x1<x2,所以x1-x2<0
所以分子=(x1x2-1)(x1-x2)>0
所以0<x1<x2<=1时有f(x1)>f(x2)
所以是减函数

Answer 2

f'(x)=1-1/x^2,其在(0,1]区间<=0,故根据一阶导数与单调性的关系知道函数(非严格)单调递减.

按定义证明如下:
对于任意的x1>x2,x1,x2属于(0,1],f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1-x2)(1-1/x1x2)<=0
由定义知道函数(非严格)单调递减.

Answer 3

设a>b且都在(0,1]上
则f(a)-f(b) = a-b+1/a-1/b = (ab-1)(a-b)/ab

其中(a-b)>0 ab>0
a和b都在(0,1]上，所以ab<1,即ab-1<0
所以f(a)-f(b)<0

f(x)在区间(0，1]上的单调递减