Question

若a1>0且a1不等于1，an+1=2an/1+an(n属于N*）

求证：an+1不等于an
令a1=1/2，写出a2,a3,a4,a5的值，观察并归纳这个数列的通项公式an
证明：存在不等于零的常数p,使得{(an+p)/an}是等比数列，并求出公比q的值

Answer 1

假设An+1=An
则An=2An/1+An，得An=0或1
与题意相矛盾
所以an+1不等于an

a2=2/3 a3=4/5 a4=8/9 a5=16/17

由An+1=2An/1+An
等式两边被1除得

1/A（n+1）=1/2An+1/2
等式两边各加X
1/A（n+1）+X=1/2An+1/2+X
=1/2(1/An +1+2X)
令X=1+2X
得X=-1
所以
1/A（n+1）-1=1/2(1/An -1)
即{1/An -1}为等比数列
首项为1/A1-1=1
公比q为1/2
1/An -1=2^(1-n)
An=1/[2^(1-n)+1] (An等于2的（1-n）次方加上1的倒数)
A1=1/2符合上式
所以An=1/[2^(1-n)+1]