Question

已知X1和X2是方程4X^2-4MX+M+2=O的两个实根

1.当实数M为何植时，X1^2+X2^2取得最小值
2.若X1，X2都大于1/2，求M的取值范围

Answer 1

根据维达定理
x1+x2=-b/a=-(-4M)/4=M
x1+x2=c/a=(M+2)/4
(1)X1^2+X2^2
=(x1+x2)²-2x1x2
=m²-2*(m+2)/4
=m²-m/2-1
=(m-1/4)²-1-1/16
=(m-1/4)²-17/16
当m=1/4时，X1^2+X2^2有最小值。
(2)若X1，X2都大于1/2
则x1+x2＞1
且x1x2＞1/4
即m＞1，
且(M+2)/4＞1/4，即m＞-1
所以m＞1。