Question

高中数列已知a1=1,a(n+1)=3an+n²,求an

第一题：已知a1=1,a(n+1)=3an+n的平方,求an。第2题an的平方=a*a（n+1），其中a1=1，an＞0，a＞0，求an。

Answer 1

第一题：由a1=1，a(n+1)=3an+n得：
[a(n+1)+(1/2)*(n+1)^2+(1/2)*(n+1)+1/2]/[an+(1/2)*(n^2)+(1/2)*n+1/2]=3
所以[an+(1/2)*(n^2)+(1/2)*n+1/2]数列以（a1+1/2+1/2+1/2）为首项，3为公比的等比数列。
即：an+(1/2)*(n^2)+(1/2)*n+1/2＝（a1+1/2+1/2+1/2）*3^(n-1)=(5/2)*3^(n-1)
所以an＝(5/2)*3^(n-1)-(1/2)*(n^2)-(1/2)*n-1/2

第二题：由a1=1，an＞0，a＞0，将an^2=a*a（n+1）两边区对数得：
2ln(an)=lna+ln[a（n+1）]
所以{ln[a（n+1）]-lna}/{ln（an）-lna}=2
所以{ln（an）-lna}数列以（ln（a1）-lna）为首项，2为公比的等比数列.
即：ln（an）-lna＝（ln（a1）-lna）*2^(n-1)
所以ln（an）＝[1-2^(n-1)]lna
所以an＝a^[1-2^(n-1)]

追问

第一题是如何变的，能详细点吗，谢谢

追答

一般用凑数法，待定系数法即可