Question

隐函数的求导，求高手指点！11题证明题。

Answer 1

先分析一下：

根据所要证明的结论来看，y与x之间的一元函数关系y=y(x)是由方程组y=f(x,t)，F(x,y,t)=0确定的。方程组里面有三个变量，能确定两个一元隐函数。既然确定了y=y(x)，那么两个隐函数的自变量就是x，因变量是y与t。
两个方程两边都对x求导，得到关于dy/dx与dt/dx的两个二元一次方程，求出dy/dx就是了。

过程：
y=f(x,t)两边对x求导：dy/dx=fx+ft*dt/dx。
F(x,y,t)=0两边对x求导：Fx+Fy*dy/dx+Ft*dt/dx=0。
两个式子联立，解出dy/dx=(FxFt-FtFx)/(Ft+Fyft)。
－－－－－
这里，用全微分的方法会简单些，好处是不用管除了x,y之外的变量的函数关系，过程如下：
对y=f(x,t)求微分：dy=fxdx+ftdt。
F(x,y,t)=0两边求微分：Fxdx+Fydy+Ftdt=0。
两个式子联立，消去dt，求出dy=(FxFt-FtFx)/(Ft+Fyft)dx，这样就有了最后的结果dy/dx=(FxFt-FtFx)/(Ft+Fyft)。

Answer 2

　　解 注意到 y = y(x)，先对
　　　　F(x,y,t) = 0,
关于 x 求导，得
　　　　DF/Dx + (DF/Dy)(dy/dx) +(DF/Dt)(Dt/Dx) = 0，
可得
　　　　Dt/Dx = -[DF/Dx + (DF/Dy)(dy/dx)]/(DF/Dt)， (*)
最后再对
　　　　y = f(x,t)
关于 x 求导，得
　　　　dy/dx = Df/Dx + (Df/Dt)(Dt/Dx)
代入 (*) 式，得
　　　　dy/dx= Df/Dx + (Df/Dt)*[-(DF/Dx)-(DF/Dy)(dy/dx)]/(DF/Dt)，
由此可解得你的式子
　　 ……。