Question

隐函数求导习题

已知，f(x)为二阶可导的单值函数，f(1)=0,f’(1)=5,f＂(1)=7.y=y(x)满足方程：f(x+y)=xy+x.求：dy/dx(x=0),d2y/dx2(x=0),求详细解答，谢谢，非常感谢！！！

Answer 1

解：f(x+y)=xy+x中令x=0，得f(y)=0。因f(x)为二阶可导的单值函数，f(1)=0，故y=1。于是有
x=0时y=1。
f(x+y)=xy+x左右两边对x求导，得
f'(x+y)*(1+y')=y+xy'+1 ①
将x=0，y=1代入上式，有
f'(1)*[1+y'(0)]=1+0+1
也即5*[1+y'(0)]=2
解得dy/dx(x=0)=y'(0)=-3/5
①式两边对x再求导一次，得
f''(x+y)*(1+y')*(1+y')+f'(x+y)*y''=y'+y'+xy''
也即
f''(x+y)*(1+y')^2+f'(x+y)*y''=2y'+xy'' ②
将x=0，y=1及y'(0)=-3/5代入上式，有
f''(1)*(1-3/5)^2+f'(1)*y''(0)=2*(-3/5)+0
也即7*4/25+5y''(0)=-6/5
解得
d2y/dx2(x=0)=y''(0)=-58/125
不明白请追问。