Question

已知椭圆c:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),离心率为二分之根号二的椭圆过点(根号6,1)

(1)求椭圆方程；
(2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1,l2分别与椭圆交于A,B和C,D，是否存在常数入，使得lABl+lCDl=入lABl*lCDl?若存在，求出入的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：
⑴由题意得，
e=c/a=2√2⇔c²/a²=(a²−b²)/a²=1/2，
(√6)²/a²+1²/b²=1，
联立解得a²=8，b²=4，c=2
∴该椭圆的标准方程为：x²/8+y²/4=1；
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⑵∵λ=(|AB|+|CD|)/|AB|•|CD|=1/|AB|+1/|CD|，
∴问题等价于求1/|AB|+1/|CD|是否是定值，
椭圆的焦点坐标是(±2，0)，不妨取焦点(2，0)，
①当直线AB的斜率不存在或等于零时，
|AB|=2a=4√2，代入x=±a得|CD|=√(a²/c)=2，
λ=1/|AB|+1/|CD|=3√2/8，
②当直线AB的斜率存在且不等于零时，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是y=k(x-2)，
代入椭圆方程，整理得(1+2k²)x²-8k²x+8k²-8=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-8k²/(1+2k²)，x1x2=(8k²−8)(1+2k²)，
根据弦长公式，|AB|=√(1+k²)×√[(x1+x2)²−4x1x2]=4√2(1+k²)/(1+2k²)，
以-1/k代换k，得|CD|=4√2(1+k²)/(k²+2)
∴λ=1/|AB|+1/|CD|=3(k²+1)/4√2(k²+1)=3√2/8，
综上所述，故存在实数λ=3√2/8，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系以及韦达定理的运用.
//--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
【明教】为您解答，
如若满意,请点击【采纳为满意回答】;如若您有不满意之处,请指出,我一定改正!
希望还您一个正确答复!
祝您学业进步!