Question

复变函数，求解答！一题悬赏底分100分

Answer 1

1，只要满足柯西黎曼方程即可，u=xy，v=ax^2+by^2，由于要满足u'x=v'y，u’y=-v'x，所以y=2by，x=-2ax，若这两个式子对任意x,y都成立，只有a=b=0
2，圆周|z|=1方程为z=e^(iθ)，因此w=[e^(iθ)+1]/e^(iθ)=1+e^(-iθ)，这是复平面上圆心z=1半径r=1的圆周。
3，sinz/(z^2+1)=sinz/(z+i)(z-i)=(1/2i)[sinz(z-i)-sinz(z+i)]，根据柯西积分公式，
∮sinzdz(z-i)=2πisini，同理∮sinzdz(z+i)=-2πisini，所以原积分=2πsini
4，由于积分圆周内只有奇点z=-i，故积分=2πiRes[f(z),-i]，又由于
Res[f(z),-i]+Res[f(z),2]+Res[f(z),∞]=0，所以Res[f(z),-i]=-Res[f(z),2]-Res[f(z),∞]=-1/(2+i)^10，故积分=-2πi/(2+i)^10
5,6查公式即可，答案分别为2πδ(ω)+e^(-jω)和4s/(s^2+4)^2