Question

已知函数f(x)=x^2+a(x+lnx)，x>0，a是常数

若函数图像上的点都在第一象限，求出常数a的取值范围。急求，感激不尽！！

Answer 1

f(x)=x^2+a(x+lnx),x>0,
设g(x)=x+lnx,则g'(x)=1+1/x>0,∴g(x)是增函数，
g(0.57)=0.0079,g(0.56)=-0.0198,
∴存在x1满足:0.56<x1<0.57,使得f(x1)=0,
x>x1时由f(x)>0,得a>-x^2/(x+lnx),记为h(x),
h'(x)=[-2x(x+lnx)+(1+1/x)x^2]/(x+lnx)^2=-x(x+2lnx-1)/(x+lnx)^2,
x>1时h'(x)<0,h(x)是减函数；x1<x<1时h'(x)>0,h(x)是增函数，
∴h(x)|max=h(1)=-1,∴a>-1.
0<x<x1时由f(x)>0,得a<-x^2/(x+lnx),仿上，h(x)是增函数，
h(0+)→0,∴a<=0.
综上，-1<a<=0,为所求.