Question

x的四次方-x³+mx²-2mx-2如何分解成两个整数系数的二次因式的积

Answer 1

常数项-2只能分解为-1×2或1×(-2)，所以这两个整系数的二次因式或为(x^2+ax-1)(x^2+bx+2)，或为(x^2+cx+1)(x^2+dx-2)。

若是x^4-x^3+mx^2-2x-2=(x^2+ax-1)(x^2+bx+2)，比较两边系数：-1=a+b，m=2-1+ab，-2=2a-b，解得a=-1,b=0，所以m=1，多项式的分解是x^4-x^3+x^2-2x-2=(x^2-x-1)(x^2+2)。

若是x^4-x^3+mx^2-2x-2=(x^2+cx+1)(x^2+dx-2)，比较两边系数：-1=c+d，m=-2+1+cd，-2=d-2c，解得c=1/3，不是整数。

所以，如果x^4-x^3+mx^2-2x-2能分解成两个整数系数的二次因式的积，则m=1，多项式因式分解为x^4-x^3+x^2-2x-2=(x^2-x-1)(x^2+2)。