Question

已知椭圆X^2/4+Y^2/3=1内有一点P(1,-1),F为椭圆的右焦点,M为椭圆上的一点求MP+MF的最大值和最小值

Answer 1

M(x,y), MP = 根号（(x-1)^2 + (y+1)^2), MF = 根号（(x-1)^2 + y^2)

y^2 = 3(1-x^2/4)

MP+MF求最大值即可

Answer 2

本题可以考虑用函数方法求解，为减少计算，不妨采用椭圆的参数方程设点
易知a^2=4，b^2=3，则c=1，于是焦点F坐标为(1,0)
令M(2cosα，√3sinα)，这里α为离心角，取值范围为[0,2π)
则MP+MF=√[(2cosα-1)^2+(√3sinα+1)^2]+√[(2cosα-1)^2+(√3sinα)^2]
即MP+MF=√(cosα^2-4cosα+2√3sinα+5)+√(2-cosα)^2（注意到sinα^2+cosα^2=1）
即MP+MF=√(cosα^2-4cosα+2√3sinα+5)+2-cosα（注意到-1≤cosα≤1）

令f(α)=√(cosα^2-4cosα+2√3sinα+5)+2-cosα，α∈[0,2π)
易知f'(α)=(-cosαsinα+2sinα+√3cosα)/√(cosα^2-4cosα+2√3sinα+5)+sinα
令f'(α)=0，即(-cosαsinα+2sinα+√3cosα)/√(cosα^2-4cosα+2√3sinα+5)+sinα=0
移项、平方、再移项，并注意到sinα^2+cosα^2=1
即4cosα^2-2√3sinα+4√3sinαcosα-1=0
即(4cosα^2-1)+2√3sinα(2cosα-1)=0（分解因式）
即(2cosα-1)(2cosα+2√3sinα+1)=0
所以有2cosα-1=0或2cosα+2√3sinα+1=0

(1)由2cosα-1=0得cosα=1/2
此时sinα=√3/2或sinα=-√3/2（注意到sinα^2+cosα^2=1，α∈[0,2π)）
此时f(α)=4或f(α)=2

(2)由2cosα+2√3sinα+1=0得16cosα^2+4cosα-11=0
解得cosα=(-3√5-1)/8或cosα=(3√5-1)/8
因2√3sinα=-2cosα-1
则f(α)=√(cosα^2-6cosα+4)+2-cosα
即f(α)=4+√5或f(α)=4-√5（注意配方）

因2cosα-1=0或2cosα+2√3sinα+1=0时f(α)获得极值
所以f(α)min=4-√5，f(α)max=4+√5
即(MP+MF)min=4-√5，(MP+MF)max=4+√5