Question

如图10，二次函数的图象与x轴相交于点A（－3，0）、B（－1，0），与y轴相交于点C（0，3），

点P是该图象上的动点；一次函数y＝kx－4k （k≠0）的图象过点P交x轴于点Q
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当点P的坐标为（－4，m）时，求证：∠OPC＝∠AQC；
（3）点M、N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M、N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时为t秒．
①连接AN，当△AMN的面积最大时， 求t的值；
②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．

Answer 1

（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1）， 

∵抛物线经过点C（0，3）， 

∴3=a×3×1，解得a=1． 

∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3． 

（2）证明：在抛物线解析式y=x2+4x+3中，当x=-4时，y=3，∴P（-4，3）． 

∵P（-4，3），C（0，3）， 

∴PC=4，PC∥x轴． 

∵一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4， 

∴Q（4，0），OQ=4． 

∴PC=OQ，又∵PC∥x轴， 

∴四边形POQC是平行四边形， 

∴∠OPC=∠AQC． 

设PQ与OC交于点E，由（2）可知，四边形POQC是平行四边形， 

∴OE=CE． 

∵点E到CQ的距离小于CE， 

∴点E到CQ的距离小于OE，而OE⊥x轴， 

∴PQ不是∠AQC的平分线，这与假设矛盾． 

∴直线PQ不能垂直平分线段MN．

解析：

分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式； 

（2）证明四边形POQC是平行四边形，则结论得证； 

（3）①求出△AMN面积的表达式，利用二次函数的性质，求出△AMN面积最大时t的值．注意：由于自变量取值范围的限制，二次函数并不是在对称轴处取得最大值； 

②由于直线PQ上的点到∠AQC两边的距离不相等，则直线PQ不能平分∠AQC，所以直线PQ不能垂直平分线段MN． 

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大，需要注意的是（3）①问中，需要注意在自变量取值区间上求最大值，而不能机械地套用公式．