Question

数论证明题

高p是奇素数，将
1+1/2+1/3+1/4+…+1/(p-1)
写成最简分数A/B。
证明 A整除p^2.

Answer 1

上题即求证当p大于3时 (p-1)![1+1/2+1/3+.....+1/(p-1)]能被p的平方整除,

1+1/2+1/3+.....+1/(p-1)]
=(1+1/(p-1)) + (1/2+1/(p-2))+...+(...)
=p(1/(p-1)+1/(2(p-2))+...)
=p*Y
故只须证p|(p-1)!Y
由wilson定理：(p-1)!≡-1 mod p
易知 p-1 2(p-2) ...(p-1)/2*(p+1)/2
分别与1 4 9 ...[(p-1)/2]^2 关于 p同余

故(p-1)!Y≡1^2+2^2+...[(p-1)/2]^2 modp

右式=[p*(p-1)/2*(p+1)/2]/6

最后证 (p-1)/2 *(p+1)/2能整除2 也能整除3
若 (p-1)/2 整除2 不能整除3 则 p=4n+1 且n不整除3 则(p+1)/2=2n+1
若n=3m+1 则2n+1=6m+3 能整除3
若n=3m+2 则p=12m+3 不合题意 舍
仿此可证 其余情况
故命题成立

Answer 2

请参见我的文章：
(p-1)![1+1-2+1-3+.....+1-(p-1)]｜：pp, p素3

http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/a9579d34c0560847251f14ca.html

Answer 3

http://www.mathoe.com/dispbbs.asp?boardid=117&id=10912

Answer 4

写反了吧……p=11的时候，A/B = 7381/2520。
有一个Wolstenholme定理，说当p>3的时候，p^2|A

Answer 5

因为[k+根号下(n0+a)]^2=k^2+n0+a+2k根号下(n0+a)
所以只要取n=k^2+n0+2k根号下(n0+a)，其中k为正整数
根号下（n+a）为有理数
显然n可取无穷多个值
所以存在无穷多个正整数，使得根号下（n+a）为有理数