Question

求助, 一道数论证明题

证明: 如果 n = 4k + 1 或者 n = 4k + 2, k是整数, 那么等式 4x^2 − y^2 = n 没有整数解.

Answer 1

对n进行mod4分类
当y=2t时（偶数）;
4x^2-y^2=4(x^2-t^2)=n
说明n≡0 (mod4)
当y=2t+1时（奇数）
4x^2-y^2=4x^2-4t^2-4t-1=4(x^2-t^2-1)+3
说明n≡3 (mod4)
而条件中n=4k+1或n=4k+2,即n≡1 (mod4)或n≡2 (mod4)
因此原方程没有整数解

Answer 2

y^2只能是4K（y偶数时） 或 4K+1形的数（y奇数时）
4x^2 是4K形的数
所以4x^2 − y^2 只能是4K或4K+3形的数
所以
如果 n = 4k + 1 或者 n = 4k + 2, k是整数, 那么等式 4x^2 − y^2 = n 没有整数解.
完毕

Answer 3

y^2只能是4K（y偶数时） 或 4K+1形的数（y奇数时）
4x^2 是4K形的数
所以4x^2 − y^2 只能是4K或4K+3形的数
所以
如果 n = 4k + 1 或者 n = 4k + 2, k是整数, 那么等式 4x^2 − y^2 = n 没有整数解.
完毕
回答者：邪恶的白痴 - 魔法师 四级 2-10 18:45
补充一点说明:
y奇数时,设y=2k+1
y^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1=4m+1(m为整数)