Question

已知多项式2x^4-4x^3+ax^2+7x+b能被x^2+x-2整除,求a/b的值

整式的除法

Answer 1

因为　2x^4--4x^3+ax^2+7x+b能被x^2+x--2整除，
所以　可设2x^4--4x^3+ax^2+7x+b=(x^2+x--2)(2x^2--6x+m)
则 2x^4--4x^3+ax^2+7x+b=2x^4+2x^3--4x^2--6x^3--6x^2+12x+mx^2+mx--2m
=2x^4--4x^3+(m--10)x^2+(m+12)x--2m
比较等式左右两边对应项的系数可得：
　　　　　　a=m--10
7=m+12
b=--2m
解此方程组得：m=--5
a=--15
b=10
　　所以 a/b=(--15)/10=--3/2.

追问

为什么要这样设2x^4--4x^3+ax^2+7x+b=(x^2+x--2)(2x^2--6x+m)？

追答

很显然的是为了解题方便啊。你感觉方便吗？

追问

那为什么刚好取(2x^2--6x+m)

追答

这不叫刚好取(2x^2--6x+m)，这里不还有一个m待确定的吗？
这实质上也是一种解题的技巧，注意观察被除式与除式的各项系数，从中确定商式的各项系数，
并尽可能地减少待定的系数。相信你在解题中能注意观察，今后也会掌握这种技巧的。

Answer 2

2x⁴-4x³+ax²+7x+b
=2x⁴+2x³-4x²-6x³-6x²+12x+(a+10)x²+(a+10)x-2(a+10)-(a+15)x+2(a+10)+b
=2x²(x²+x-2)-6x(x²+x-2)+(a+10)(x²+x-2)-(a+15)x+2(a+10)+b
=(x²+x-2)(2x²-6x+a+10)-(a+15)x+2(a+10)+b
前一项包含因式x²+x-2，能被x²+x-2整除，要多项式能被x²+x-2整除
-(a+15)x+2(a+10)+b=0
对于任意实数x，等式恒成立
-(a+15)=0
2(a+10)+b=0
解得a=-15 b=10
a/b=(-15)/10=-3/2