Question

在rt三角形abc中，角ACB等于90度，D是AB边上的一点，以BD为直径作圆O交AC于点E，连接

在rt三角形abc中，角ACB等于90度，D是AB边上的一点，以BD为直径作圆O交AC于点E，连接DE并延长BC的延长线交于点E，且BD等于BF。求证，AC与圆O相切。若BC=6，AB=12，求圆O的面积

Answer 1

（1）

证明：

连接BE，OE

∵BD是⊙O的直径

∴∠BED=90°

∵BF=BD

∴DE=EF（等腰三角形三线合一）

∵OB=OD

∴OE是△BFD的中位线

∴OE//BF

∴∠AEO=∠ACB=90°

∴AC是⊙O的切线

（2）

设OE=OB=OD=r，则AO=12-r

∵OE//BF

∴△AOE∽△ABC

∴AO/AB=OE/BC

（12-r）/12=r/6

72-6r=12r

r=4

⊙O的面积=πr²=16π

Answer 2

连接BE，
∵BD为直径
∴BE⊥DF
又∵BD=BF
∴BE平分∠DBF（等腰三角形三线合一）
∵AC⊥BF，且AB=2BC
∴∠ABC=60°
∴∠ABE=∠EBC=30°
所以EC=BC÷根号3=2倍根号3
BE=2EC=4倍根号3
DE=BE÷根号3=4
BD=2DE=8
所以直径为8，半径为4
面积=4²π=16π

Answer 3

很多年了，不妨重温。

连OE，

BD=BF

∠1=∠3

又∠1=∠2

∠2=∠3

OE∥BF

BF⊥AC

∴OE⊥AC

E为圆上一点，AE与半径OE垂直

∴AE与圆切；

（2）设OE=OB=x；

由（1）OE∥BF：

OE/BC=AO/AB

易得半径x，

剩下不用多说。

Answer 4

可是没有证明BD与DF相等 就算O是BD的中点E是DF的中点也不能说明平行吧

Answer 5

楼下的非常正确！