Question

一道高中数学 柯西不等式 问题求解

⒈ x1,x2,x3,.....xn是正数，求证： （X1+X2+X3......+Xn）（1/X1+1/X2+......1/Xn）≥n的平方 ⒉ 已知a,b,c是不相等的正数，求证： 2/(a+b)+2/（b+c)+2/(a+c）大于9/(a+b+c) ⒊ 设X1,X2...,Xn为正数，且X1+X2+......Xn=1，求证： X1^2/（1+X1）+X2^2/（1+X2)+......Xn^2/(1+Xn)≥1/（n+1)

Answer 1

(1) 数学归纳法: 1.n=1时,x1∈(0,+∞),且x1=1,则1+x1=2≥2^1=2,成立; 2.假设n=k(k∈N)时不等式成立,即 x1,x2,x3,…,xk∈(0,+∞),(即数列中的元素为正),且x1·x2·…·xk=1时,(1+x1)(2+x2)…(k+xk)≥2^k成立,设,(1+x1)(2+x2)…(k+xk)=A,那么 3.当n=k+1(k∈N)时,有x1,x2,x3,…,xk+1∈(0,+∞),且x1·x2·…·xk+1=1,则(1+x1)(2+x2)…[(k+1)+xk+1]=A[(k+1)+xk+1]≥2^k·[(k+1)+xk+1],其中,因k>1,xk+1>0,则(k+1)+xk+1>2,即A[(k+1)+xk+1]≥2^k·2=2^k+1成立 (2) 设2x=a+b,2y=b+c,2z=c+a,则所证不等式等价于 1/x+1/y+1/z>9/(x+y+z) <==> (x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z>9 <==> y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6 <==> (y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(y/z+z/y)>6. 因为y/x+x/y>2,z/x+x/z>2,y/z+z/y>2. 所以上式显然成立. (3)x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)= =[x1-1+1/(1+x1)]+[x2-1+1/(1+x2)]+...[xn-1+1/(1+xn)]= =1-n+1/(1+x1) +1/(1+x2)+……+1/(1+xn)≥ ≥1-n+n^2/(n+1)=1/(n+1) 希望采纳