Question

已知函数f(x)的定义域为R，对m,n∈R，恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-1/2)=0,当x＞-1/2时，f（x）＞0

已知函数f(x)的定义域为R，对m,n∈R，恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-1/2)=0,当x＞-1/2时，f（x）＞0
（1）求证f（x）是增函数
（2）试举出有这种性质的一个函数并加以验证

Answer 1

(1)
f(0)=2f(0)-1, f(0)=1

只要证对在x附近,f(x)>f(0)
1=f(0.5)+f(-0.5)-1 ,f(0.5)=2
f(0.5)=2f(0.25)-1,f(0.25)=1.5
...
f(1/2^n)>1,对任意n成立
又因为f在0附近连续，所以只要x足够靠近0，f(x)>1

证毕

（2）例子y=x+1

Answer 2

用函数定义证明 很明显是个一次函数