Question

已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.

(1)证明:f(0)=1,且x<0时,f(x)>1;
(2)证明:f(x)在R上单调递减.

我的数学不太好 望大家能写出清楚的解题过程
非常非常感谢!!

Answer 1

(1)因为f(1)=f(1+0)=f(1)f(0), 所以f(1)=f(1)f(0) 所以 f(0)=1
令x<0 则-x>0 则 f(x+(-x))=f(0)=f(x)+f(-x)=1 又因为 当x>0时，0<f(x)<1 所以 x<0时,f(x)>1
(2) 设x1 为函数f(x)在定义域r上任意函数，则f(x1+1)=f(x1)f1 因为 x>0时，0<f(x)<1
所以f(x+1)<f(x), 所以f（x）在r上单调递减。
已经五六年没做过数学题了，初中的更不用提，上了大学就很少学习了。但是还是做出来了。在笔记本上做题更是第一次。呵呵，第二问虽然勉强，但是还对。

Answer 2

第一问： 因为f(m+n)=f(m)f(n) ,当m=1时。n=0，得到f(0)=1；
条件1.当x>0.很容易得到f(x)是递减的；
当m>0,n<0,且m+n>0时，得到1>f(m+n)=f(m)f(n)>0;得到f(n)=f(m+n)/f(m);由条件1得到：f(n)>1.
第二问： 设 m=n+z 当0>m>n,时，f(m)-f(n)=f(n)f(z)-f(n)=f(n)[f(z)-1]<0;所以为递减函数，m,n>0第一问已证，明显可得 结论正确。
还有什么不懂的吗？