Question

函数f x 的定义域为R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1

求证:f(0)=1,且当x<0时,有f(x)>1

Answer 1

x>0时，0<f(x)<1
=> 当m>0,n>0时,m+n > n, f(m+n) = f(m)*f(n) < f(n)
=> x>0时,f(x)单调递减。

f(0) = f(0)*f(0) => f(0) = 0 或 f(0)=1
当f(0) = 0 , m>0 时，f(m+0) = f(m)*f(0) = 0 与题意矛盾
f(0) = 1
当m>0：
f(0) = f(m)*f(-m) = 1 => f(-m) = 1/f(m) => 当x<0时，f(x)单调递减。

所以x<0时，f(x)>f(0)=1
f(x)>1

Answer 2

f（0+0）=f（0）*f（0）
所以：f（0）=1 或 f（0）=0
f（1+0）=f(1)*f(0),如果f（0）=0，等式不成立。
所以f（0）=1。
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f（0）=f（-x）f（x）=1
取a<0,0＜f（-a）＜1
f(a)=1/f(-a)>1
所以：当x＜0时，f（x）＞1；