Question

【高数级数问题】第一题题目如图求解答！

Answer 1

由阿贝尔定理：幂级数Σan(x-x0)^n在x=X处收敛，必有当|x-x0|<|X-x0|时，此幂级数绝对收敛。
有题目，收敛的中心在x=1，且当x-1=-1，即x=0处条件收敛。
若当x<0，存在这样的x使得幂级数收敛，则由阿贝尔定理可得在x=2处绝对收敛，与题目矛盾，所以x=0就是收敛区间的最左端，又收敛的中心是x=1，则收敛域必为[0，2)或[0，2]。
当x=2，所得的级数变为Σan，因为题目中告诉了交错级数Σan(-1)^n是条件收敛，所以对所有的n，an同号，而条件收敛的交错级数，对应的正项级数必发散，所以无论an恒正或恒负，Σan发散，即原幂级数的收敛域为[0，2)。