Question

求曲面 e的z次方-z+xy=3 在点(2,1,0)处的切面方程. 二，求微分方程的通解y''-4y'+3y=0 y'-y=3x

Answer 1

1、设F(x,y,z)＝e^z－z＋xy－3，αF/αx＝y，αF/αy＝x，αF/αz＝e^z－1，代入x＝2，y＝1，z＝0得αF/αx＝1，αF/αy＝2，αF/αz＝0，所以曲面在点(2,1,0)处的切平面的法向量是(1,2,0)，切平面的方程是 1×(x-2)＋2×(y-1)＋0×(z-0)＝0，即x＋2y－4＝0 2、 y''－4y'＋3y＝0的特征方程是r^2－4r＋3＝0，得r＝1或3，所以微分方程的通解是y＝C1×e^x＋C2×e^(3x) 先求解y'－y＝0，分离变量dy/y＝dx，两边积分lny＝x＋lnC，所以y＝e^x. 设y＝C(x)e^x是y'－y＝3x的解，代入得C'(x)＝3xe^(-x)，所以C(x)＝∫3xe^(-x)dx＝－∫3xde^(-x)＝－3xe^(-x)＋3∫e^(-x)dx＝－3xe^(-x)－3e^(-x)＋C＝－3(x+1)e^(-x)＋C 所以，y'－y＝3x的通解是y＝e^x×[－3(x+1)e^(-x)＋C]＝－3(x+1)＋Ce^x