Question

如图, 已知 AD‖BC,∠1=∠2,∠3=∠4, 直线 DC过点E交 AD 于 D, 交BC于点C,求证:AD+BC=AB

如图, 已知 AD‖BC,∠1=∠2,∠3=∠4, 直线 DC过点E交 AD 于 D, 交BC于点C,求证:AD

Answer 1

正如你做的辅助线一样，要求EC=EF.显然了，三角形ECB=三角形EFB，则有BF=BC,现在只要证明三角形ADE=三角形AFE即可，你肯定可以推导出∠2+∠3=90，则可以得到∠AEB=90,∴∠DEA+∠BEC=90,∵∠AEF+∠FEB=90,∠BEC=∠FEB
,∴∠DEA=∠AEF，所以三角形ADE=三角形AFE，所以AD=AF.而BF=BC,的证

Answer 2

证明：
∵AD‖BC,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180.
又∵∠1=∠2,∠3=∠4
所以∠2+∠3=90°

后边咋整呢？不要告诉我，作三条垂线（角平分线到角两边的垂线），再证明全等。

（我说楼上的大哥，你不懂就不要瞎说，你的“显然了，三角形ECB=三角形EFB”，笑话哦，△EFB是直角三角形，△ECB是吗？？？还全等……）

Answer 3

AB上取一点F,使AD=AF,三角形ADE全等于三角形AFE,有∠DEA=FEA,AD‖BC得,∠1+∠2+∠3+∠4=180,得∠1+∠3=90,所以∠DEA+∠CEB=90,又
∠AEF+∠BEF=90,∠AEF=∠DEA,所以∠BEF=∠BEC,又∠3=∠4,三角形BEF全等于三角形BEC,有BC=BF,由AD=AF,所以AD+BC=AF+BF=AB,得证

Answer 4

过E点做EF‖BC交AB于F
于是∠AEF=∠1=∠2
∴AF=EF
同理：BF=EF
于是EF是梯形ABCD的中位线
∴2EF=AD+BC
而EF=AF=BF
∴AB=AF+BF=2EF=AD+BC.

Answer 5

证明：过E点分别向AD、AB、BC作垂线，分别交于G、F、H，
∵∠1=∠2,∠3=∠4，即直线AE和BE分别是∠DAB和∠ABC的角平分线，根据“平分线上的点到角的两边距离相等”得：EF=EG，EF=EH，所以EG=EH。
又因为AD‖BC，且EG⊥AD，EH⊥BC，易知EGH三点共线。
所以E为线段GH的中点，易证Rt△DGE≌Rt△CHE，则有DG=CH
同样易证Rt△AGE≌Rt△AFE，则有AG=AF。
Rt△BFE≌Rt△BHE，则BH=BF
AB=AF+BF
带入以上等式：AB=AG+BH
又因为AG=AD-DG，BH=BC+CH
所以AB=(AD-DG)+(BC+CH)=AD+BC-DG+CH
因为DG=CH（已证），所以AB=AD+BC，证毕。

Answer 6

这道题需要做辅助线
过E做EF‖BC交AB于F
∠1=∠AEF=∠2
得到等腰三角形EFA，得到EF=FA,同理BF=EF,继而AF=EF=BF
这样EF就是梯形ABCD的中位线
延长AE交BC延长线于G
则有∠1=∠G，得到∠2=∠G,得到AB=BC+CG
由AD‖BC及E为CD重点得到三角形ADE和GCD全等
即CG=AD
这样就有AB=BC+CG=BC+AD