Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为1/2,且经过点P(1,3/2) 问：1.求椭圆的C的方程

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为1/2,且经过点P(1,3/2) 问：1.求椭圆的C的方程
2AB是经过椭圆右焦点F的任一弦，问：在x轴上是否存在定点C使得向量CA与向量CB的乘积为常数，若存在，求出点C的坐标

Answer 1

解：
根据题意有：c/a=1/2 且1/a^2+9/(4b^2)=1 解得a^2=4 b^2=3 c=1 所以椭圆C的方程是x^2/4+y^2/3=1
(2)设M(xo,yo)则直线AM：y=yo(x+2)/(xo+2) 直线BM：y=yo(x-2)/(x0-2)他们与右准线x=4交点坐标分别是P(4,6yo/(xo+2)) Q(4,2yo/(xo-2)) 向量AP=（6，6yo/(xo+2)) 向量BQ=（2，2yo/(xo-2)) 所以它们的数量积=12+12yo^2/(xo^2-4)=3
(3)|PQ|=|2yo/(xo-2)-6yo/(xo+2)|
=|3(xo-4)/yo|
=3√[（xo-4)^2/(yo^2)]
= 3√[-4/3+4(8xo-20)/(3xo^2-12)]
其最小值是4 此时x=1

Answer 2

c/a=1/2 且1/a^2+9/(4b^2)=1 解得a^2=4 b^2=3 c=1 所以椭圆C的方程是x^2/4+y^2/3=1。(2)，设C(m，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1，0)，设弦为y=K(x一1)，与椭圆解析式组成方程组得(3+4K2)x2一8K2x十4K2一12=0，CAxCB=x1x2一m(x1+x2)十m十y1y2=0，即整理出关于m解析式(与m取值无关)即可