Question

已知椭圆C：x∧2/a∧2+y∧2/b∧2＝1（a＞b＞c）的离心率为√3/2，过焦点且垂直于长轴

已知椭圆C：x∧2/a∧2+y∧2/b∧2＝1（a＞b＞c）的离心率为√3/2，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B （1）求椭圆C的方程 （2）设P为椭圆上一点，且满足向量OA+向量OB＝t向量OP（O为坐标原点），当|AB|＜√3时，求实数t的取值范围

Answer 1

解:<1>c=1; 点(-1，√2/2)在椭圆上，有1/a^2+1/2b^2=1....1#
又 a^2-c^2=b^2 带入1# 得出 a^2=2或者a^2=1/2(舍去，因为椭圆里a>c)
标准方程: x^2/2+y^2 = 1

<2>
椭圆方程为 x^2 + 2y^2 = 2
设直线l 为 my+1 = x (斜率k=1/m,其实就是 y=k(x-1))代入椭圆方程
得到 (my+1)^2+2y^2-2 = 0 即 (m^2+2)y^2+2my-1=0.....1#

设Q坐标(x3,0) A(x1,y1),B(x2,y2)向量QAQB=-7/16等价于 x1x2-x3(x1+x2)+x3^2+y1y2 =-7/16(2#)恒成立

y1y2 = -1/(m^2+2); x1+x2 = 2+m(y1+y2) = 2-2m^2/(m^2+2)=4/ (m^2+2)
x1x2 = m(y1+y2)+1+y1y2m^2 = (-2m^2+m^2+2-m^2)/(m^2+2)=6/(m^2+2)-2
带入2# 令N=m^2+2
6/N-x3*4/N+x3^2-1/N=25/16
(1/N)(5-4x3) = 25/16-x3^2 恒成立

1@ 当x3 = 5/4时,左边=0，右边也=0，恒成立! 检验当直线平行于X轴时，也成立(想想为什么不是平行于Y轴)
2@ 当x3≠ 5/4 时候,1/N = 5/4-x3 右边为常数但左边是变量，不成立

所以存在定点Q(5/4,0)使得命题恒成立

Answer 2

e=c/a=✔3/2 所以，c²/a²=3/4，c²=3a²/4，又因为c²=a²-b²，a²-b²=3a²/4，a²=4b²，x²/4b²+y²/b²=1，c²/4b²+（1/2）²/b²=1，所以，3a²/4/4b²+（1/2）²/b²=1，b²=1.a²=4.所以，x²/4+y²=1