Question

f(x)在(a,+∞)上可导，且x趋于正无穷时(f(x)+f'(x))趋于0。

求证x趋于无穷时，f(x)趋于0，求高手指点!没想法。

Answer 1

f(x)在(a,+∞)上可导，在[x,x+1]上，用拉格朗日中值定理
f(x+1) - f(x) = f '(ξ) * (x+1-x) x < ξ <x+1
0 = lim(x->+∞) [f(x+1) - f(x) ]
= lim(x->+∞) f '(ξ) =lim(ξ->+∞) f '(ξ)
∴lim(x->+∞) f '(x) = 0
∵lim(x->+∞)[f(x)+f'(x)]=lim(x->+∞)[f(x)]+lim(x->+∞)[f'(x)]=0
∴lim(x->+∞) f (x) = 0

追问

谢谢您!但我们老师说可以用洛必达法则证明，不知您是否知道思路?

好吧(∩_∩)，还是谢谢您了