Question

已知椭圆C1：x23+y22=1的左右焦点为F1，F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P

已知椭圆C1：x23+y22=1的左右焦点为F1，F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2，若A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，且AB⊥BC，则y2的取值范围是（　　）A．（-∞，-6）∪[10．+∞）B．（-∞，6]∪[10．+∞）C．（-∞，-6）∪（10，+∞）D．以上都不正确

Answer 1

∵椭圆C₁：

x2

3

+

y2

2

=1的左右焦点为F₁，F₂，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），直线l₁：x=-1，
设l₂：y=t，设P（-1，t），（t∈R），M（x，y），
则y=t，且由|MP|=|MF₂|，
∴（x+1）²=（x-1）²+y²，
∴曲线C₂：y²=4x．
∵A（1，2），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）是C₂上不同的点，
∴

AB

＝(x1?1，y1?2)，

BC

＝(x2?x1，y2?y1)，
∵AB⊥BC，
∴

AB

?

BC

=（x₁-1）（x₂-x₁）+（y₁-2）（y₂-y₁）=0，
∵x1＝

1

4

y12，x2＝

1

4

y22，
∴（y12-4）（y22-y12）+

(y1?2)(y2?y1)

16

=0，
∵y₁≠2，y₁≠y₂，
∴

(y1+2)(y1+y2)

16

+1＝0，
整理，得y12+(2+y2)y1+(2y2+16)＝0，
关于y₁的方程有不为2的解，
∴△＝(2+y2)2?4(2y2+16)≥0，且y₂≠-6，
∴y22?4y2?60≥0，且y₂≠-6，
解得y₂＜-6，或y 2 ≥10．
故选：A．