已知椭圆C:x24+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,过F的值线l交椭圆C于A、B两点,过F2且平行于l的直线l1交椭
已知椭圆C:x24+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,过F的值线l交椭圆C于A、B两点,过F2且平行于l的直线l1交椭圆C与M、N两点.(1)求△ABF2的周长;(2)...
已知椭圆C:x24+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,过F的值线l交椭圆C于A、B两点,过F2且平行于l的直线l1交椭圆C与M、N两点.(1)求△ABF2的周长;(2)求△ABM面积的最大值.
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(1)由椭圆的定义可得△ABF2的周长=|AB|+AF2|+|BF2|=4a=8;
(2)设直线l的倾斜角为θ,当θ≠
时,l:y=tanθ(x+
),l1:y=tanθ(x-
)
点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离:d=2
sinθ
∵|AB|=
=
∴S△ABM=
×
×2
sinθ=
≤
=2
当且仅当sinθ=
时,取等号
当θ=
时,|AB|=1,d=2
,此时S△ABM=
<2
∴△ABM面积的最大值为2.
(2)设直线l的倾斜角为θ,当θ≠
π |
2 |
3 |
3 |
点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离:d=2
3 |
∵|AB|=
2×
| ||
1-e2cos2θ |
1 | ||
1-
|
∴S△ABM=
1 |
2 |
1 | ||
1-
|
3 |
4
| ||
|
4
| ||
2
|
当且仅当sinθ=
| ||
3 |
当θ=
π |
2 |
3 |
3 |
∴△ABM面积的最大值为2.
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