Question

如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA ⊥底面 ABCD ， E 是 PC 的中点.已知 AB= 2， AD= 2

如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA ⊥底面 ABCD ， E 是 PC 的中点.已知 AB= 2， AD= 2 ， PA= 2.求：（1）三角形 PCD 的面积；（6分）（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.（6分）





Answer 1

（1） ；（2） .

解：（1）因为 PA ⊥底面 ABCD ，所以 PA ⊥ CD ，又 AD ⊥ CD ，所以 CD ⊥平面 PAD ， 从而 CD ⊥ PD .                                           ……3分          因为 PD= ， CD =2，所以三角形 PCD 的面积为 . ……6分   （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则 B (2, 0, 0)， C (2, 2 ,0)， E (1, , 1)， ， .   ……8分 设 与 的夹角为 q ，则 ， q = .          由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是          ……12分 [解法二]取 PB 中点 F ，连接 EF 、 AF ，则 EF ∥ BC ，从而∠ AEF （或其补角）是异面直线 BC 与 AE 所成的角      ……8分 在 中，由 EF = 、 AF = 、 AE =2，知 是等腰直角三角形，所以∠ AEF = . 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是                ……12分