Question

已知椭圆 ＝1(a＞b＞0)，点P 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q

已知椭圆 ＝1(a＞b＞0)，点P 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足AQ＝AO，求直线OQ的斜率的值．

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Answer 1

（1） （2）k＝± .

(1)因为点P 在椭圆上，故 ＝1，可得 ＝ . 于是e 2 ＝ ＝1－ ＝ ，所以椭圆的离心率e＝ . (2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x 0 ，y 0 )． 由条件得 消去y 0 并整理得 ＝ .① 由AQ＝AO，A(－a，0)及y 0 ＝kx 0 ，得(x 0 ＋a) 2 ＋k 2 ＝a 2 . 整理得(1＋k 2 ) ＋2ax 0 ＝0，而x 0 ≠0，故x 0 ＝ ，代入①，整理得(1＋k 2 ) 2 ＝4k 2 · ＋4.由(1)知 ＝ ，故(1＋k 2 ) 2 ＝ k 2 ＋4， 即5k 4 －22k 2 －15＝0，可得k 2 ＝5.所以直线OQ的斜率k＝± .