Question

（本小题满分12分）已知函数f(x)= x3+ ax2+ax-2(a∈R),(1)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上为单调增函数，

（本小题满分12分）已知函数f(x)= x3+ ax2+ax-2(a∈R),(1)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围；(2)设A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))是函数f(x)的两个极值点，若直线AB的斜率不小于- ，求实数a的取值范围.

Answer 1

解：(1 )因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为单调递增函数， 所以f′(x)=x2+ax+a>0在(-∞，+∞)上恒成立. 由Δ=a2-4a<0，解得0<a<4.                                                 4分 又当a=0时，f(x)= x3-2在(-∞，+∞)上为单调递增函数; 当a=4时，f(x)= x3+2x2+4x-2= (x+2)3- 在(-∞，+∞)上为单调递增函数， 所以0≤a≤4.                                                        6分（12分文） (2)依题意，方程f′(x)=0有两个不同的实数根x1、x2， 由Δ=a2-4a>0，解得a<0或a>4,且x1+x2=-a，x1x2="a.                          " 8分 所以f(x1)-f(x2)=［ (x12+x1x2+x22)+ a(x1+x2)+a］(x1-x2). 所以 = ［(x1+x2)2-x1x2］+ a(x1+x2)+a= (a2-a)+ a(-a)+a=- a2+ a≥- . 解之,得-1≤a≤5. 所以实数a的取值范围是-1≤a<0或4<a≤5.                                  12分

略