Question

已知函数f(x)=(2ax-a^2+1)/(x^2+1)(x∈R),其中a∈R,当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值

已知函数f(x)=(2ax-a^2+1)/(x^2+1)(x∈R),其中a∈R,当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值

Answer 1

f(x) = (2ax-a^2+1)/(x^2+1)
f'(x) = { (x^2+1)*2a - (2ax-a^2+1)*2x } / (x^2+1)^2
= -2{ax^2+(1-a^2)x-a} / (x^2+1)^2
= -2a{x^2+(1/a-a)x-1} / (x^2+1)^2
= -2a(x+1/a)(x-a) / (x^2+1)^2

（一）当a=0时，f'(x) = -2{ax^2+(1-a^2)x-a} / (x^2+1)^2 = -x / (x^2+1)^2
单调增区间：（-∞，0）
单调减区间（0，+∞）
x=0时取极大值f(0)=(0-0+1)/(0+1) = 1

（二），当a＜0时，f'(x) = -2a(x+1/a)(x-a) / (x^2+1)^2
x＜a，或x＞-1/a时，f'(x)＞0；a＜x＜-1/a时，f'(x)＜0
单调增区间（-∞，a)，（-1/a，+∞）
单调减区间（a，-1/a)
极大值f(a) = (2a*a-a^2+1)/(a^2+1) = 1
极小值f(-1/a) = (2a*(-1/a)-a^2+1)/((-1/a)^2+1) = -a^2

（三），当a＞0时，f'(x) = -2a(x+1/a)(x-a) / (x^2+1)^2
x＜a，或x＞-1/a时，f'(x)＜0；-1/a＜x＜a时，f'(x)＞0
单调减区间（-∞，-1/a)，（a，+∞）
单调增区间（-1/a，a)
极小值f(-1/a) = (2a*(-1/a)-a^2+1)/((-1/a)^2+1) = -a^2
极大值f(a) = (2a*a-a^2+1)/(a^2+1) = 1

Answer 2

f(2x<5*3{xr5}=f*23