Question

已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M

已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）如图1，猜想ON与OP的关系并证明；（2）如图1图2，设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．

Answer 1

（1）∵CN⊥DP，
∴∠CDP+∠DCN=90°，
又∵∠DCN+∠BCN=90°，
∴∠BCN=∠CDP，
在△BCN和△CDP，

∠BCN＝∠CDP BC＝CD ∠ABC＝∠BCD＝90°

，
∴△BCN≌△CDP（ASA），
∴CN=DP，
∵CN⊥DP，AC⊥BD，
∴∠OCN=∠ODP，
在△OCN和△ODP中，

OC＝OD ∠OCN＝∠ODP CN＝DP

，
∴△OCN≌△ODP（SAS），
∴ON=OP，∠CON=∠DOP，
∴∠AON=∠BOP，
∴∠NOP=∠AOB=90°，
∴ON⊥OP，
综上所述，ON与OP垂直且相等；

（2）∵CN⊥DP，
∴∠CDP+∠DCM=90°，
又∵∠BCN+∠DCM+90°=180°，
∴∠CDP=∠BCN，
在△CDP和△CBN中，

∠CDP＝∠BCN BC＝CD ∠CBN＝∠DCP＝90°

，
∴△CDP≌△CBN（SAS），
∴BN=CP，
∵AB=4，BP=x，
∴BN=x-4，点O到BP的距离=

1

2

×4=2，
∴y=

1

2

x?2+

1

2

x（x-4）=

1

2

x²-x．