Question

如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体

如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗？请说明理由；（3）如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，那么它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）可以达到30cm2吗？请说明理由．

Answer 1

（1）设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得
（10-2x）（8-2x）=48，即x²-9x+8=0
解得x₁=8（不合题意，舍去），x₂=1．
∴剪去的正方形的边长为1cm．                  …（2分）

（2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52 cm²，理由如下：
设剪去的正方形边长为xcm，
由题意，得　2[x（10-2x）+x（8-2x）]=52…（2分）
整理得2x²-9x+13=0
∵△=b²-4ac=81-4×2×13＜0，
∴原方程没有实数解．
即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52 cm²．…（2分）

（3）设剪去的正方形边长为xcm，
若按图1所示的方法剪折，
解方程2(8?2x)x+2×

10?2x

2

?x＝30，得该方程没有实数解．…（3分）
若按图2所示的方法剪折，
解方程2(10?2x)x+2×

8?2x

2

?x＝30，
得x1＝

5

3

，x2＝3．
∴当按图2所示的方法剪去的正方形边长为

5

3

cm或3cm时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30 cm²．…（3分）