Question

已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．（1）求证：平面CDE⊥平面ABC（2）若AB=DC=3，BC=5，

已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．（1）求证：平面CDE⊥平面ABC（2）若AB=DC=3，BC=5，BD=4，求几何体ABCD的体积．

Answer 1

（1）证明：∵BC=AC，E为AB的中点，
∴AB⊥CE．
又∵AD=BD，E为AB的中点
∴AB⊥DE．
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE
∵AB?平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC．
（2）∵在△BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，
∴CD⊥BD，
在△ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，
∴CD⊥AD，
∵AD∩BD=D∴CD⊥平面ABD．所以线段CD的长
是三棱锥C-ABD的高
又在△ADB中，DE=

16? 9 4

=

55

2

∴V_C-ABD=

1

3

×

1

2

×3×

55

2

×3＝

3 55

4

．