Question

已知椭圆x22+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角α=π4

已知椭圆x22+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角α=π4，求|AB|．（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）因为直线l的倾斜角α=

π

4

，直线l的斜率为1，方程为y=x+1，与椭圆方程联立，可得3x²+4x=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=0，x₂=

4

3

∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=

4 2

3

；
（2）当直线AB的斜率存在时
设弦AB的中点M的坐标为（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依题意有

x12 2 +y12＝1 x22 2 +y22＝1 x1+x2＝2x y1+y2＝2y y1?y2 x1?x2 ＝ y x+1

，化简可得…（7分）
当直线AB的斜率不存在时，中点为F（-1，0）也满足上式．
综上得：弦AB的中点M的轨迹方程为x²+x+2y²=0．