Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD=100°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AM

如图，四边形ABCD中，∠BAD=100°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为______．

Answer 1

作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB=100°，
∴∠HAA′=80°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=80°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×80°=160°
故答案为：160°．