Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AM

如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为______．

Answer 1

解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，
由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100°．

Answer 2

要让△AMN周长最小，则要让线段am、an和mn在同一条直线上。如下图：

做a关于bc和cd的对称点a'和a''，根据对称性质有：

am=a'm； an=a''n

如果此时a'、m、n和a''在同一条直线上，则△amn的周长将取得最小值。

∵ ∠A′+∠A″=180°-∠BAD= 180°-130° = 50°

∴  ∠AMN+∠ANM = 2（ ∠A′+∠A″）= 2×50° = 100°

Answer 3

如图所示，答案为100°

Answer 4

作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，

连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，

∵∠BAD=130∘,∠B=∠D=90∘，

∴∠A′+∠A″=180∘−∠130∘=50∘，

由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，

∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)=2×50∘=100∘.

故答案为：100∘.