Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC,CD上分别找一个点M,N,使△AMN周长最小，并求此

如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC,CD上分别找一个点M,N,使△AMN周长最小，并求此时，∠AMN+∠ANM的度数。

Answer 1

以BC为对称轴作A的对称点E，以CD为对称轴作A的对称点F
连接EF，与BC,CD分别交于点P,Q
则当M,N分别与交点P,Q重合时，△AMN周长最小
由对称可知，有 AM=EM, AN=FN
∴△AMN周长=AM+MN+AN=EM+MN+FN
E,F两点间直线最短，故只有当M,N分别与P,Q重合时
△AMN周长取得最小值，此最小值即为EF
由对称性可知，∠AMN=∠E+∠EAM=2∠E，
∠ANM=∠F+∠FAN=2∠F
又∠BAD=120°，∴∠E+∠F=180°-120°=60° （△AEF内角和180°）
∴∠AMN+∠ANM=2（∠E+∠F）=120°

Answer 2

解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作的DA延长线AH，

∵∠DAB=120°，

∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，