Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B左侧）．与y轴交于点C，顶点为D，直

在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B左侧）．与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E．（1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标；（2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与A、B两点重合），请你求出F点坐标；（3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使△PBF的面积最大，求此时P点坐标及△PBF的最大面积；（4）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径．

Answer 1

（1）抛物线y=x²+2x-3中，x=0，则y=-3；y=0，则x=1或-3；
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）；
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴D（-1，-4）；
故A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），D（-1，-4）．（2分）

（2）∵C（0，-3），D（-1，-4），
∴直线CD：y=x-3；
将直线CD向左平移两个单位，得：
y=（x+2）-3=x-1，
此时直线经过点B（1，0）；
联立抛物线的解析式有：

y=x2+2x-3 y=x-1

，
解得

x=1 y=0

，

x=-2 y=-3

；
∴F（-2，-3）．（3分）

（3）过点P作y轴的平行线与BF交于点M，与x轴交于点H．
易得F（-2，-3），直线BF解析式为y=x-1．
设P（x，x²+2x-3），则M（x，x-1），（4分）
∴PM=-x²-x+2=-（x+

1

2

）²+

9

4

；
PM的最大值是

9

4

，此时x=-

1

2

，
当PM取最大值时△PBF的面积最大，
S_△PBF=S_△PFM+S_△PEM=

1

2

×

9

4

×3，
△PFB的面积的最大值为

27

8

，P点坐标为：（-

1

2

，-

15

4

）．

（4）如图，①当直线GH在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则H（R-1，R），
代入抛物线的表达式，
解得R=

1+ 17

2

；（7分）
②当直线GH在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
则H（r-1，-r），
代入抛物线的表达式，
解得r=

-1+ 17

2

∴圆的半径为

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．（8分）