Question

（1）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,⊙O的弦AE交于BC于D.　求证：AB.AC=AD.AE (2)在（1）的条件下当弦A

（1）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,⊙O的弦AE交于BC于D.　求证：AB.AC=AD.AE (2)在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明。若不成立，请说明理由。

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Answer 1

（1）证明见解析(2)上述结论仍成立，证明见解析

（1）证明：连接CE， ∵AB=AC， ∴ ， ∴∠AEC=∠ACD； 又∵∠EAC=∠DAC， ∴△AEC∽△ACD， ∴ ，即AC 2 =AD?AE； 又∵AB=AC， ∴AB?AC=AD?AE． （2）答：上述结论仍成立． 证明：连接BE， ∵AB=AC， ∴ ， ∴∠AEB=∠ABD； 又∵∠EAB=∠DAB ∴△AEB∽△ABD， ∴ ，即AB 2 =AD?AE． 又∵AB=AC， ∴AB?AC=AD?AE． （1）要证明AB?AC=AD?AE成立，只要能证得 ，要用AB=AC，结合圆，等弧对等角，观察本题无平行关系，首先考虑三角形的相似．连接CE，可证明△AEC∽△ACD，问题解决． （2）假设结论仍成立，考虑作辅助线，看是否有三角形相似，能说明与AB?AC=AD?AE有关的成比例的线段关系．连接BE，可证得△AEB∽△ABD，进而可使问题解决．