Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx） 2 +2cos 2 x，（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）当x∈[

已知函数f（x）=（sinx+cosx） 2 +2cos 2 x，（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）当x∈[0， π 2 ]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

解 （Ⅰ）由题设得：f（x）=（sinx+cosx） 2 +2cos 2 x=1+sin2x+2cos 2 x =sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+ π 4 )+2 ， ∴f（x）的最小正周期为π， 令 π 2 +2kπ≤2x+ π 4 ≤ 3π 2 +2kπ （k∈Z）得， π 8 +kπ ≤x≤ 5π 8 +kπ ，k∈z ∴f（x）的单调递减区间为[ π 8 +kπ ， 5π 8 +kπ ]（k∈Z）． （Ⅱ）∵x∈[0， π 2 ]，∴ 2x+ π 4 ∈[ π 4 ， 5π 4 ] ， ∴ sin(2x+ π 4 )∈[- 2 2 ，1] ， ∴ 2 sin(2x+ π 4 )+2∈[1，2+ 2 ] ， ∴当x= π 2 时，f（x）取到最小值为1，当x= π 8 时，f（x）取到最大值为2+ 2 ．