Question

已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，则m的

已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，则m的取值范围是______．

Answer 1

求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax-a²，
令f′（x）=0，即（3x-a）（x+a）=0，所以x=-a或x=

a

3

∵a∈[3，6]，x∈[-2，2]，
令导数大于0可得x＜-a或x＞

a

3

，令导数小于0可得-a＜x＜

a

3

，又-a≤-3，

a

3

∈[1，2]
∴极大值点不在取值范围内，而极小值点在取值范围内．
∴要使不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只要保证x=-2与x=2时的函数值f（x））≤1就可以了． 
∵f（-2）=-8+4a+2a²+m，f（2）=8+4a-2a²+m，a∈[3，6]，
作差比较得f（-2）＞f（2）
∴只要f（-2）≤1即可
即：-8+4a+2a²+m≤1，m≤-2a²-4a+9
由a∈[3，6]得，-2a²-4a+9的最小值为-87
∴m≤-87