Question

求数项级数∞n＝1（-1）n-11n(2n?1)的和

求数项级数∞n＝1（-1）n-11n(2n?1)的和．

Answer 1

令S（x）=

∞

n＝1

(?1)n?1

1

n(2n?1)

x2n，
S″（x）=2

∞

n＝1

(?1)n?1x2n?2=

2

1+x2

，
?S′（x）=2arctanx
?S(x)＝2[xarctanx?

1

2

xln(1+x2)]，x∈[-1，1]，
?

∞

n＝1

(?1)n?1

1

n(2n?1)

所以数项级数

∞

n＝1

(?1)n?1

1

n(2n?1)

=S_（1）=

π

2

-ln2．