Question

若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______

若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

由题意该函数的定义域x＞0，由f′(x)＝2ax+

1

x

．
因为存在垂直于y轴的切线，
故此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数f′(x)＝2ax+

1

x

存在零点．
再将之转化为g（x）=-2ax与h(x)＝

1

x

存在交点．当a=0不符合题意，
当a＞0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，
当a＜0如图2，此时正好有一个交点，故有a＜0．
故答案为：{a|a＜0}

Answer 2

解：对已知函数求导得f'(x)=2ax+(1/x)
存在垂直于y轴的切线即方程f'(x)=2ax+(1/x)=0在x>0上有实根
2ax^2+1=0
x^2=-1/2a>0
解得a<0