（2012?昌平区一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB
（2012?昌平区一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD．E为AB中点，F为...
（2012?昌平区一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD．E为AB中点，F为PC中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求二面角C-PE-A的余弦值；（Ⅲ）若四棱锥P-ABCD的体积为4，求AF的长．
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（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴PA⊥BC
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵E为AB中点，∴PE?平面PAB．
∴BC⊥PE．
（Ⅱ）建立直角坐标系A-xyz，设AB=1，则B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E(
，0，0)
＝(0，1，0)，
＝(?
，0，1)，
＝(
，1，0)
由（I）知，BC⊥平面PAE，∴
是平面PAE的法向量．
设平面PEC的法向量为
=（x，y，z），则
?
＝0且
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵E为AB中点，∴PE?平面PAB．
∴BC⊥PE．
（Ⅱ）建立直角坐标系A-xyz，设AB=1，则B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E(
| 1 |
| 2 |
| BC |
| EP |
| 1 |
| 2 |
| EC |
| 1 |
| 2 |
由（I）知，BC⊥平面PAE，∴
| BC |
设平面PEC的法向量为
| n |
| n |
| EC |
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