Question

已知函数f（x）=x|x|?1，x∈（-1，1），有下列结论：①?x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；②?m

已知函数f（x）=x|x|?1，x∈（-1，1），有下列结论：①?x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；②?m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实根；③?x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④存在无数个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3个零点．其中正确结论的个数为（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

①∵f（x）=

x

|x|?1

，x∈（-1，1），
∴f（-x）=

?x

|x|?1

=-

x

|x|?1

=-f（x），x∈（-1，1），
即函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立．∴①正确．
②∵f（x）=

x

|x|?1

，x∈（-1，1）为奇函数，
∴|f（x）|为偶函数，
当x=0时，|f（0）|=0，
∴当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，当m＞0时，方程有两个不等实根，∴②错误．
③当x∈[0，1）时，f（x）=

x

|x|?1

=

x

x?1

＝

x?1+1

x?1

＝1+

1

x?1

≤0，为减函数．
当x∈（-1，0]时，f（x）=

x

|x|?1

=

x

?x?1

＝

x+1?1

?x?1

＝?1+

1

x+1

≥0，为减函数．
综上函数f（x）在（-1，1）上为单调函数，且单调递减，
∴?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）成立，即③正确．
④由g（x）=f（x）-kx=0得f（x）=kx，
∴f（0）=0，即x=0是函数的一个零点，
又∵函数f（x）为奇函数，且在（-1，1）上单调递减，
∴可以存在无数个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3个零点，如图：
∴④正确．
故①③④正确．
故选：C．